Kurt Friedrich Gödel (1906-1978) è stato un logico, matematico e filosofo austriaco naturalizzato statunitense. Una delle menti più brillanti ed enigmatiche della storia, ricordato come uno dei più grandi logici mai esistiti e accostato a nomi del calibro di Aristotele, Leibniz e Frege. Egli ha rivoluzionato il pensiero matematico (e non) nel 1931 pubblicando i suoi due celebri teoremi di incompletezza, intaccando la “certezza” della più esatta delle scienze.
Il grande matematico David Hilbert aveva sviluppato un forte sistema assiomatico in grado di racchiudere l’intera conoscenza matematica a partire da proposizioni prime, non dimostrabili. Chiamati con A gli assiomi e con R le regole di inferenza, questi due elementi sono espressi in un linguaggio simbolico e operatoriale utile per la loro manipolazione.
Utilizzando queste regole R è possibile estrapolare i teoremi T all’interno della teoria degli assiomi A. Un sistema di tal tipo è detto sistema formale <L,A,R> e deve possedere i seguenti requisiti :
1) Coerenza o non-contraddittorietà: Il sistema non deve mai arrivare a dimostrare una cosa e il suo contrario allo stesso tempo;
2) Completezza sintattica: Il sistema è “completo” se, per ogni proposizione possibile scritta nel suo linguaggio, si può dimostrare o che è vera o che è falsa usando le regole del sistema;
3) Decidibilità: Un sistema è “decidibile” se esiste un metodo automatico e finito che ci dice se una certa proposizione appartiene o no al sistema;
4) Assiomatizzabilità: Un sistema è “assiomatizzabile” se si possono ricostruire gli assiomi di partenza (le regole base) guardando solo ai teoremi che produce;
5) Ricchezza: Un sistema è “ricco” se riesce a rappresentare dentro di sé non solo idee generali, ma anche casi concreti e specifici.
Gran parte dello studio di sistemi formali nel corso del ‘900 si è basato sui sistemi detti “potenti”, ovvero quelli che hanno una complessità strutturale tale da poter racchiudere le teorie formali di varie discipline, nel nostro caso matematico-fisiche. Tali sistemi sono in grado di essere auto-referenziali, ovvero riescono a produrre proposizioni che riguardano la loro stessa struttura. Su questo tipo di sistemi Gödel ha rivolto la sua attenzione:
Primo teorema: Ogni sistema sufficientemente potente, coerente ed assiomatizzabile è sintatticamente incompleto.
Ovvero se riuscissimo a creare un sistema logico perfetto, coerente e con regole chiare, ci saranno sempre delle affermazioni che pur essendo vere non possono essere dimostrate usando solo quelle regole. In questo senso esistono proposizioni la cui veridicità è indecidibile nel substrato assiomatico del mio sistema formale.
Il sogno di Hilbert di una matematica autosufficiente sfuma tragicamente.
Secondo teorema di Gödel: Ogni sistema sufficientemente potente, coerente e assiomatizzabile è incapace di dimostrare una proposizione che esprima in modo canonico la coerenza dello stesso sistema.
Ovvero un sistema logico non può provare da solo di non contenere contraddizioni. Uno sguardo dall’esterno è pertanto necessario, con strumenti e principi che non fanno parte del sistema stesso. La coerenza della matematica non può essere dunque mostrata attraverso la matematica stessa.
Come penso possiate immaginare, questi teoremi hanno profonde implicazioni per la nostra comprensione della matematica e della logica e sembrano porre dei limiti invalicabili alla conoscenza.
Ora, l’IA “forte”, ovvero quella basata sulla manipolazione simbolica e implementata attraverso funzioni Turing-computabili, si può considerare come un sistema formale a tutti gli effetti e quindi è lecito chiedersi in che modo i teoremi di Gödel agiscano su di esso.
Indipendentemente dalla potenza di un sistema di IA, esisteranno sempre delle verità che non può conoscere. Pertanto, intesa in questo modo, non potrà mai essere esente da errori (seppur piccoli) ed essere infallibile. Dall’altra parte sarà sempre necessario aggiornare i sistemi IA con nuovi assiomi ed informazioni.
Infine i teoremi di incompletezza di Gödel suggeriscono che potrebbero esserci cose che i sistemi di IA non potranno mai davvero comprendere, verità al di là della portata di qualsiasi sistema formale basato su assiomi. Bisogna quindi essere realistici sui limiti degli strumenti che usiamo tutti i giorni, oltre che ovviamente consapevoli delle potenzialità e della loro utilità.
Rimanendo in tema di limiti, gli stessi teoremi di Gödel ne possiedono alcuni. Il primo è che sono applicabili solo a sistemi formali, quindi non si applicano a tutti i tipi di conoscenza, come quella acquisita attraverso esperienza o intuizione. Inoltre si possono applicare solo a sistemi coerenti, ovvero che non presentano contraddizioni; essendo la maggior parte dei sistemi reali non completamente coerenti l’applicazione totale di questi teoremi potrebbe essere non possibile.
Rimanendo però nel contesto dei sistemi formali, questi teoremi non possono essere del tutto superati e per mitigarne gli effetti può essere utile combinare più sistemi assiomatici differenti per avvicinarsi ad un quadro più completo della verità. Un altro modo per smorzare gli effetti di questa “spada di Damocle“ è utilizzare l’apprendimento automatico, che permette di apprendere qualcosa di non contenuto in sistemi assiomatici. I modi in cui questi modelli possono essere utilizzati sono principalmente:
- Imparando dai dati: i modelli si nutrono di grandi quantità di dati e scoprono autonomamente nuove relazioni o “verità” non previste dagli assiomi iniziali.
- Usano la probabilità : attraverso l’incertezza superano possibili blocchi logici
- Sono adattivi: si aggiornano costantemente
- Collaborano: più sistemi formali con l’obiettivo di avvicinarsi alla verità scambiano informazioni
Attraverso queste tecniche è stato possibile mitigare gli effetti dei teoremi di Gödel e le branche principali in cui hanno trovato uno sviluppo concreto sono:
- Nel campo dell’elaborazione del linguaggio naturale: dove i modelli imparano significati non esplicitati da grammatiche formali
- Nel campo della visione artificiale: dove riconoscono oggetti e pattern non descritti da modelli matematici precisi.
- Nel campo della robotica: dove apprendono strategie di controllo in ambienti complessi che non potrebbero essere programmate manualmente.
Non esistono ad oggi modelli di apprendimento automatico completamente immuni agli effetti dei teoremi, ma questo non deve porre un limite alla nostra voglia di conoscere e apprendere nuove verità sul mondo mediante l’utilizzo di questi potenti strumenti.
Gödel ha affisso un promemoria potente sui limiti della conoscenza umana, ciò però non rende meno bello il piacere della scoperta!
“Fatti non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza”
CONSIGLIO DI LETTURA per saperne di più su Gödel e sui collegamenti tra scienza, arte e musica: il grande classico “Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante” di Douglas Hofstadter.
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